線性代數 高斯消去法 高斯-喬丹消去法

為了考碩士，去旁聽電通系張偉德老師的線性代數

他在課堂上解聯立方程式是一步一步的解，讓連我這種健忘的人也能學會

用的是國中方式一條線有無限多個點，當兩條線有一點交集則有一組解

當兩條線平行則無解，當兩條線重疊則無解

今天交的方式是用高斯消去法去解決聯立方程式的問題，也會順便帶到高斯-喬丹消去法

原方程式為：

x – 2y + 3z = 9

-x + 3y = -4

2x – 5y + 5z = 17

第一步就是將方程式畫成一個增廣矩陣

如果增廣矩陣的第一列第一行為0，則可以將第n列第一行為1的做互換

在此我們令列為R，第n列則為R_n

1	-2	3	9
-1	3	0	-4
2	-5	5	17

R₁₊R₂→R₂

1	-2	3	9
0	1	3	5
2	-5	5	17

(R_1*-2)+R₃→R₃

1	-2	3	9
0	1	3	5
0	-1	-1	-1

R₂₊R₃→R₃

1	-2	3	9
0	1	3	5
0	0	2	4

R_3*1/2→R₃，做到這裡算是完成了高斯消去法了

那我們來推算，先將方程式列出來：
x-2y+3z=9
y+3z=5
2z=4

開始解聯立
2z=4, z = 2

5-6 = y, y = -1

9-(4+6) = x, x = 1
驗證這組解是對得，不過高斯後來有一個徒弟叫做喬丹
喬丹又發明了一個消去法叫做高斯-喬丹消去法
這方法或許對某些式子還不錯用，或許用高斯消去法就夠用了
接著剛剛的增廣矩陣的結果繼續運算

(R_3*-3)+R₂→R₂

1	-2	3	9
0	1	3	5
0	0	1	2

(R_3*-3)+ R₁→R₁

1	-2	3	9
0	1	0	-1
0	0	1	2

(R_2*2)+R₁→R₁

1	-2	0	3
0	1	0	-1
0	0	1	2

End

1	0	0	1
0	1	0	-1
0	0	1	2

由最後的矩陣式子來觀看方程式的變化，答案如下：
x = 1
y = -1
z = 2

上完張偉德老師的課，突然覺得根本淺顯易懂
忘了國中數學的我還能學會也真是太神奇了…